O desvio padrão é a medida de dispersão mais cobrada em concurso. Ele responde a uma pergunta simples: em média, quanto os valores se afastam da média? Só que existe uma armadilha que derruba candidato todo ano, e ela cabe em dois caracteres simples: n ou n − 1.
Neste artigo você vai ver as duas fórmulas separadas, quando usar cada uma, o cálculo passo a passo, as propriedades que a banca adora e duas questões reais resolvidas, da VUNESP e da FGV.
As duas fórmulas do desvio padrão
Existem duas, e a diferença está no denominador. Não é detalhe: é o ponto que a banca transforma em alternativa errada.
Desvio padrão populacional
Use quando os dados representam toda a população. O símbolo é a letra grega sigma minúscula e o denominador é N:
Desvio padrão amostral
Use quando os dados são uma amostra retirada de uma população maior. O símbolo é s e o denominador é n − 1:
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| σ | Desvio padrão populacional |
| s | Desvio padrão amostral |
| μ | Média populacional |
| x | Média amostral |
| N e n | Tamanho da população e da amostra |
Por que existe o n menos 1
Chama-se correção de Bessel. Quando você calcula os desvios em relação à média da amostra, os valores ficam mais próximos dessa média do que estariam da média verdadeira da população. Resultado: a soma dos quadrados sai subestimada.
Dividir por n − 1 em vez de n corrige esse viés e produz um estimador não viesado da variância. Como o denominador é menor, o resultado fica um pouco maior, o que compensa a subestimação.
Como identificar qual usar pelo enunciado
| O enunciado diz | Fórmula |
|---|---|
| “uma amostra de”, “foram selecionados”, “coletou-se uma amostra” | Amostral, com n − 1 |
| “todos os funcionários”, “a população de”, “o conjunto completo” | Populacional, com N |
| “desvio padrão amostral” ou usa o símbolo s | Amostral |
| “desvio padrão populacional” ou usa o símbolo σ | Populacional |
| Nada indica | Verifique as alternativas: se houver dois valores próximos, um deles é a pegadinha |
O exemplo prático mais conhecido no Brasil é a PNAD Contínua do IBGE: ela entrevista uma amostra de domicílios para estimar características de toda a população brasileira. É por isso que os resultados vêm acompanhados de
medidas de dispersão da estimativa.
Cálculo passo a passo
Considere as notas de uma amostra de 5 candidatos: 4, 6, 7, 9 e 9.
Passo 1 — calcule a média.
Passo 2 — monte a tabela de desvios.
| xi | xi − x | (xi − x)2 |
|---|---|---|
| 4 | −3 | 9 |
| 6 | −1 | 1 |
| 7 | 0 | 0 |
| 9 | 2 | 4 |
| 9 | 2 | 4 |
| Soma | 0 | 18 |
Passo 3 — divida e extraia a raiz. Como é amostra, o denominador é n − 1 = 4:
Se o enunciado dissesse que esses 5 candidatos são a população inteira, o denominador seria 5:
Repare na distância entre 2,12 e 1,90. É exatamente esse par que a banca coloca em alternativas diferentes.
A fórmula de trabalho, quando a questão já dá os somatórios
Muitas questões fornecem Σxi e Σxi2 prontos. Nesse caso, não perca tempo montando tabela. Use a versão algébrica:
Com os mesmos dados: Σxi2 = 16 + 36 + 49 + 81 + 81 = 263 e n·x2 = 5 × 49 = 245. Logo s2 = (263 − 245) / 4 = 4,5, e s ≈ 2,12. Mesmo resultado, metade do tempo.
As duas propriedades campeãs de prova
Somar uma constante não altera o desvio padrão
Se todos os salários de uma equipe receberem um aumento fixo de R$ 500, todo mundo sobe junto. A média sobe 500, mas a distância entre as pessoas continua a mesma. O desvio padrão não muda.
Multiplicar por uma constante multiplica o desvio padrão pelo módulo dela
Agora um aumento de 10% para todos. Quem ganhava mais sobe mais em valor absoluto, e a dispersão cresce na mesma proporção.
Resumo das propriedades
| Transformação | Média | Desvio padrão | Variância |
|---|---|---|---|
| X + c | Soma c | Não muda | Não muda |
| c · X | Multiplica por c | Multiplica por |c| | Multiplica por c2 |
| c · X + d | c·x + d | Multiplica por |c| | Multiplica por c2 |
Outras duas que aparecem em item de certo e errado:
- O desvio padrão é sempre maior ou igual a zero. Vale zero apenas quando todos os valores são iguais.
- O desvio padrão tem a mesma unidade dos dados. A variância tem unidade ao quadrado, o que a torna difícil de interpretar.
Exatidão e precisão não são a mesma coisa
Esse par cai em prova de perícia, engenharia e qualidade, e o desvio padrão está no centro dele.
| Conceito | O que mede | Como se avalia |
|---|---|---|
| Exatidão | Proximidade em relação ao valor verdadeiro | Pelo erro, ou seja, pela diferença entre o medido e o padrão |
| Precisão | Concordância entre medições repetidas | Pela dispersão dos erros, ou seja, pelo desvio padrão |
Um instrumento pode ser preciso e inexato ao mesmo tempo: se ele erra sempre para o mesmo lado e na mesma medida, os erros são consistentes, o desvio padrão é baixo, mas o valor está deslocado. É o caso clássico de descalibração.
Desvio padrão, variância, amplitude e coeficiente de variação
| Medida | Fórmula | Unidade | Ponto forte | Ponto fraco |
|---|---|---|---|---|
| Amplitude | xmáx − xmín | Mesma dos dados | Cálculo imediato | Usa só dois valores e é destruída por outlier |
| Variância | s2 | Ao quadrado | Base de toda a inferência | Unidade sem sentido prático |
| Desvio padrão | s | Mesma dos dados | Interpretação direta | Sensível a valores extremos |
| Coef. de variação | s / x | Adimensional | Compara grupos de escalas diferentes | Perde o sentido se a média for próxima de zero |
Quer comparar a dispersão de duas variáveis com unidades diferentes, como altura e peso? O desvio padrão não serve. Use o coeficiente de variação.
A regra empírica
Em distribuições aproximadamente simétricas e em forma de sino:
- Cerca de 68% dos dados caem em x ± 1s
- Cerca de 95% caem em x ± 2s
- Cerca de 99,7% caem em x ± 3s
Essa regra só vale para distribuição aproximadamente normal. Para qualquer distribuição, use a desigualdade de Tchebycheff, que garante pelo menos 1 − 1/k2 dos dados dentro de k desvios padrão.
Erros mais comuns na hora da prova
- Usar n quando o enunciado fala em amostra. É a armadilha mais frequente do tema.
- Aplicar a fórmula errada por descuido de leitura. Circule a palavra “amostra” ou “população” no enunciado antes de calcular.
- Achar que somar constante altera a dispersão. Não altera. Só a média se desloca.
- Multiplicar o desvio padrão por c2. Isso é da variância. No desvio padrão é |c|.
- Calcular sobre o conjunto errado de dados. Em questões de calibração, o desvio pedido é o dos erros, não o das leituras.
- Esquecer que o desvio padrão não pode ser negativo. Se deu negativo, houve erro de sinal.
Questões comentadas
b) amostral do grupo A é igual à variância amostral do grupo B, e o desvio padrão amostral do grupo A é maior do que o desvio padrão populacional do grupo B.
Ver gabarito comentado
Gabarito: letra B.
O grupo B é o grupo A somado de 3 unidades. Pela propriedade da constante aditiva, a dispersão é idêntica nos dois. As variâncias amostrais são iguais, o que elimina a discussão sobre qual grupo é mais disperso.
A comparação real está no segundo trecho, e ela mistura amostral com populacional de propósito:
- Média de A = 4. Desvios: −2, −1, 0, 1, 2. Soma dos quadrados = 10.
- Variância amostral: 10 / 4 = 2,5 → sA = 1,58
- Variância populacional de B: 10 / 5 = 2,0 → σB = 1,41
Como 1,58 > 1,41, a alternativa correta é a B.
A armadilha: a banca sabe que o candidato vai comparar dois grupos com a mesma dispersão e concluir “são iguais”. Mas o que muda não é o grupo, é o denominador. Amostral sempre resulta maior que populacional para o mesmo conjunto de dados.
Leitura: 20,3 | 50,4 | 100,7 | 150,8 | 200,9 °C
b) O sistema é exato e o desvio padrão amostral é aproximadamente igual a 0,26 °C.
c) O sistema é impreciso e o desvio padrão amostral é aproximadamente igual a 0,23 °C.
d) O sistema é inexato e o desvio padrão amostral é aproximadamente igual a 0,23 °C.
e) O sistema é preciso e inexato e o desvio padrão amostral é aproximadamente igual a 0,05 °C.
Ver gabarito comentado
Gabarito: letra A.
O primeiro passo é o que separa quem acerta de quem erra: o desvio padrão deve ser calculado sobre os erros, não sobre as leituras.
Erros (leitura menos padrão): 0,3 | 0,4 | 0,7 | 0,8 | 0,9
- Média dos erros: 0,62
- Soma dos quadrados dos desvios: 0,268
- Desvio padrão amostral (dividindo por 4): 0,2588 ≈ 0,26
- Desvio padrão populacional (dividindo por 5): 0,2315 ≈ 0,23
Exatidão: o maior erro é 0,9 °C, acima do limite de ±0,5 °C. O sistema é inexato.
Precisão: o desvio padrão de 0,26 está dentro do limite de repetibilidade de 0,30 °C. O sistema é preciso.
As três armadilhas empilhadas: a banca colocou 0,26 e 0,23 em alternativas diferentes, repetindo a pegadinha do n versus n − 1. Colocou 0,05, que é o resultado de quem calculou sobre o conjunto errado. E colocou a letra E, que acerta os dois conceitos, preciso e inexato, mas erra o número. A letra A não menciona a exatidão, porém nada do que afirma é falso, e por isso é a única inteiramente correta.
Veja mais questões na seção de PROVAS
Perguntas frequentes
Quando usar n e quando usar n menos 1?
Use n quando os dados representam toda a população e n − 1 quando representam uma amostra. Procure no enunciado palavras como “amostra”, “foram selecionados” ou “coletou-se”, que indicam o caso amostral. Se o enunciado não deixar claro, observe as alternativas: quando aparecem dois valores próximos, um deles é justamente a pegadinha do denominador.
Qual a diferença entre desvio padrão e variância?
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. A diferença prática está na unidade: a variância fica na unidade ao quadrado, como reais ao quadrado, o que não tem interpretação concreta. O desvio padrão volta à unidade original dos dados e por isso é o que se usa para interpretar resultados.
O desvio padrão pode ser negativo?
Não. Ele é a raiz quadrada de uma soma de quadrados dividida por um número positivo, então é sempre maior ou igual a zero. Ele vale exatamente zero apenas quando todos os valores do conjunto são iguais, ou seja, quando não existe dispersão alguma.
Somar uma constante a todos os dados altera o desvio padrão?
Não altera. Somar uma constante desloca todos os valores na mesma direção e na mesma medida, então as distâncias entre eles permanecem idênticas. A média sobe ou desce pela constante, mas a dispersão fica igual. Já multiplicar todos os dados por uma constante multiplica o desvio padrão pelo módulo dessa constante.
O desvio padrão amostral é um estimador não viesado?
A variância amostral com denominador n − 1 é um estimador não viesado da variância populacional. O desvio padrão amostral, porém, continua levemente viesado, porque a raiz quadrada não preserva essa propriedade. Esse é um item de certo e errado bastante frequente em prova da Cebraspe.
Qual a diferença entre exatidão e precisão?
Exatidão é a proximidade em relação ao valor verdadeiro e se avalia pelo erro. Precisão é a concordância entre medições repetidas e se avalia pela dispersão, ou seja, pelo desvio padrão dos erros. Um instrumento descalibrado pode ser preciso e inexato ao mesmo tempo, quando erra sempre para o mesmo lado e na mesma medida.
Checklist de revisão
- Populacional divide por N. Amostral divide por n − 1.
- A soma dos desvios simples é sempre zero. Use como conferência.
- Desvio padrão é a raiz da variância. Não pare na variância.
- Somar constante não muda a dispersão.
- Multiplicar por c: desvio padrão por |c|, variância por c2.
- Desvio padrão nunca é negativo e tem a mesma unidade dos dados.
- Em questão de calibração, calcule sobre os erros, não sobre as leituras.
- Desvio padrão mede dispersão em torno da média, não a média em si.
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