Matemática Essencial: 4 Tópicos Para Aprender Estatística

Veja a matemática essencial por trás dos segredos de probabilidade, estatística e ciência de dados

A probabilidade e a estatística são áreas fundamentais da ciência que desempenham um papel central em diversas disciplinas, como ciências sociais, biológicas, engenharia, economia e, mais recentemente, ciência de dados. Para entender esses campos, é importante dominar certos conceitos de matemática que servem de base para os principais teoremas e métodos utilizados. Neste artigo, vamos explorar a matemática essencial para quem deseja aprofundar-se em probabilidade e estatística.

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Conteúdo

1 Matemática Essencial: Álgebra
2 Cálculo
3 Teoria dos Conjuntos
4 Álgebra Linear
5 Conclusão

Matemática Essencial: Álgebra

A álgebra é a linguagem básica da matemática, e sem ela é difícil lidar com a probabilidade e a estatística. Alguns tópicos-chave incluem:

Manipulação de expressões algébricas: Simplificação de equações e fórmulas, fatoração, e solução de equações lineares e quadráticas.
Funções: Compreender o comportamento de diferentes tipos de funções (lineares, quadráticas, exponenciais, etc.) é fundamental, pois muitos modelos estatísticos dependem de representações funcionais. Em estatística, as funções de probabilidade e densidade, como a função densidade da distribuição normal, são exemplos centrais.
Resolução de equações: é essencial o uso de resoluções de equação como aquelas do primeiro e do segundo graus. Além disso é importante conhecer os conceitos de razão, proporção, dentre outros da matemática básica.

Cálculo

O cálculo é a base de matemática essencial para grande parte das técnicas avançadas de probabilidade e inferência estatística. Os dois principais tópicos do cálculo usados são:

Derivadas: A derivada mede como uma função muda em relação às suas variáveis. Na probabilidade e estatística, isso é útil para maximizar funções de verossimilhança e encontrar pontos críticos em distribuições, além de se obter as funções de densidade em variáveis aleatórias contínuas.
Integrais: As integrais são usadas para calcular áreas sob curvas, o que em probabilidade significa calcular probabilidades em distribuições contínuas, como a distribuição normal ou exponencial.

Por exemplo, a integral da função densidade de probabilidade de uma variável contínua entre dois pontos fornece a probabilidade da variável assumir valores dentro daquele intervalo.

P(Z\leq 1,96)=\int_{-\infty}^{1,96} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\ \mathrm{d}x}

Apesar de usarmos integrais para calcular probabilidade na distribuição normal, esses resultados estão em uma tabela frequentemente usada em provas de concursos.

Teoria dos Conjuntos

A teoria dos conjuntos é essencial para entender as operações de união, interseção e complemento de eventos em probabilidade. Elas são usadas para denotar a ocorrência de eventos e alguns conceitos importantes incluem:

União e Interseção de Conjuntos: Na probabilidade, a união de dois eventos representa a ocorrência de pelo menos um deles, enquanto a interseção representa a ocorrência simultânea de ambos.
Complemento de Conjuntos: O complemento de um evento é o conjunto de resultados que não pertencem ao evento. A probabilidade do complemento é frequentemente usada em problemas onde se calcula a chance de um evento não ocorrer. Veja abaixo alguns eventos e simbologia comumente adotada.

Veja abaixo uma tabela com algumas notações comuns:

Propriedade	Notação
Evento certo de ocorrer	$\Omega$
Evento impossível de ocorrer	$\emptyset$
Ocorrência simultânea dos eventos $A\ \mbox e }\ B$	$A\cap B$
União de eventos $A\ \mbox{ ou }\ B$	$A\cup B$
Complementar (Não ocorrência do Evento $A$ )	$A^c$
Inclusão ( $A\ \mbox{ ocorre sempre que }\ B\ \mbox{ocorre)}$	$A\subseteq B$
Não ocorrência simultânea	$(A\cap B)=\emptyset$

Notações de probabilidade usando teoria dos conjuntos

Álgebra Linear

O conceito de vetores e matrizes da álgebra linear aparece com frequência em estatística, especialmente em análise multivariada e em modelos de regressão. O contexto multivariado é mais comum do que se pode imaginar nas aplicações de estatística e ciência de dados, dessa forma é importante dominar alguns conceitos chaves:

Vetores e Matrizes: No contexto de modelos estatísticos, vetores podem representar conjuntos de dados ou coeficientes de variáveis, enquanto matrizes aparecem no cálculo de correlação, covariância, e na estimativa de parâmetros em modelos de regressão.
Autovalores e Autovetores: Esses conceitos são usados em técnicas como Análise de Componentes Principais (PCA), que é uma ferramenta estatística amplamente utilizada para reduzir a dimensionalidade de conjuntos de dados grandes.

Conclusão

Para avançar em probabilidade e estatística, é necessário um sólido entendimento dos conceitos de matemática essencial que foram mencionados nesse artigo. Eles não apenas formam a base das fórmulas e métodos, mas também ajudam a desenvolver o raciocínio lógico e a resolução de problemas complexos. Seja para estudos acadêmicos ou aplicações em ciência de dados, dominar essas ferramentas é essencial para ter sucesso nessas áreas.

Lembre-se: a matemática é uma linguagem. Quanto mais fluente você for, mais claro será o entendimento dos problemas e soluções nas áreas de probabilidade e estatística.

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