O Que é o Teste de Cox-Stuart e Como Usá-lo em Séries Temporais

O teste de Cox-Stuart é um teste estatístico utilizado para verificar a presença de tendências em séries temporais. Muitas vezes, ele é empregado quando se deseja saber se existe uma mudança consistente na média ou no comportamento de uma variável ao longo do tempo. Neste artigo, vamos explorar o teste de Cox-Stuart, seus princípios, como ele funciona, suas hipóteses e a estatística de teste envolvida.

Ebook 52 Questões de Séries Temporais.

Contextualização

Em diversas áreas de estudo, como economia, finanças, ciências sociais e saúde, é comum que os dados sejam coletados ao longo do tempo. Esses dados formam o que se conhece como séries temporais, e uma das perguntas mais frequentes é se há uma tendência no comportamento dos valores observados. Isso pode incluir o aumento ou diminuição contínua de uma variável, o que pode ser um sinal importante para a análise preditiva ou tomada de decisões.

O teste de Cox-Stuart foi desenvolvido especificamente para detectar a presença de uma tendência em séries temporais, sem exigir que a distribuição dos dados siga uma forma específica (como a normalidade). Esse teste é muito útil em situações onde a presença de uma tendência é mais importante do que as suposições sobre a distribuição dos dados.

Princípios do Teste de Cox-Stuart

O princípio fundamental do teste de Cox-Stuart é comparar os valores de uma série temporal, utilizando uma abordagem baseada em pares de observações. Esse teste verifica se há uma tendência linear crescente ou decrescente ao longo do tempo.

A lógica por trás do teste é simples: ele divide a série temporal em dois grupos e avalia se os valores de um grupo são sistematicamente maiores ou menores do que os valores do outro grupo. Para isso, são comparadas as diferenças entre as observações no início e no final de uma subsequência da série. Se a diferença entre esses dois pontos for consistentemente maior ou menor ao longo do tempo, isso indicaria uma tendência.

Objetivo do Teste de Cox-Stuart

O principal objetivo do teste de Cox-Stuart é determinar se existe uma tendência monotônica em uma série temporal. Ou seja, ele verifica se a variável observada aumenta ou diminui de forma consistente ao longo do tempo, sem considerar a magnitude das variações.

Este teste é especialmente útil quando queremos verificar se há uma alteração no comportamento de uma variável ao longo do tempo, por exemplo:

• Aumento ou diminuição de vendas ao longo dos meses.
• Mudança nas taxas de inflação ao longo dos anos.
• Alterações no desempenho de uma campanha de marketing.

Além disso, o teste de Cox-Stuart não exige suposições de normalidade ou a presença de outros requisitos típicos de outros testes paramétricos.

Hipóteses do Teste de Cox-Stuart

O teste de Cox-Stuart trabalha com duas hipóteses principais:

Hipótese nula (H₀):

• Não há tendência: A hipótese nula afirma que não há uma tendência significativa na série temporal. Ou seja, a série é aleatória e não há um aumento ou diminuição sistemática ao longo do tempo. Em termos mais simples, os valores da série são considerados em média estáveis.

Hipótese alternativa (H₁):

• Há uma tendência: A hipótese alternativa afirma que existe uma tendência presente na série temporal. Ou seja, a série está apresentando uma variação sistemática ao longo do tempo, seja ela crescente ou decrescente.

Essas duas hipóteses serão testadas através da comparação entre as observações de diferentes pontos da série, de forma a determinar a existência de uma tendência.

Estatística de Teste

A estatística de teste de Cox-Stuart é baseada na comparação das observações da série temporal em dois momentos distintos: o início e o final de cada subsequência. Para aplicar o teste, os passos são os seguintes:

1. Divisão da Série Temporal: A série temporal é dividida em duas partes: a primeira parte (do início até o ponto médio) e a segunda parte (do ponto médio até o final).
2. Comparação de Pares: Para cada observação na primeira parte da série, compara-se com a correspondente observação na segunda parte. A comparação é feita considerando se o valor da observação na segunda parte é maior, menor ou igual ao valor da observação na primeira parte.
3. Contagem de Diferenças: Com base nas comparações, conta-se o número de vezes que ocorre uma diferença positiva (indicando uma tendência crescente) e o número de vezes que ocorre uma diferença negativa (indicando uma tendência decrescente). Se houver uma diferença substancial entre as contagens de diferenças positivas e negativas, isso pode indicar a presença de uma tendência.
4. Cálculo da Estatística: A estatística de teste é calculada com base nas contagens de diferenças positivas e negativas. O teste de Cox-Stuart então determina se a diferença observada é suficientemente grande para rejeitar a hipótese nula, indicando que há uma tendência significativa na série.

Fórmula

A fórmula geral para o teste de Cox-Stuart envolve o cálculo da estatística , que pode ser obtida a partir do número de sinais positivos. Quando temos um número de pares menor ou igual a 20 (após eliminar empates) usamos a distribuição binomial.

Onde:

• , onde t é encontrado na distribuição binomial;
• A binomial tem parâmetros p=1/2 e n,
• Para dado nível de significância alfa.

Para um número de pares suficientemente grande, usamos a aproximação pela distribuição normal e comparamos o valor crítico na tabela da normal padrão.

Como Interpretar o Resultado?

Após realizar o teste, se o valor da estatística de teste for maior do que o valor crítico (obtido de uma distribuição normal), rejeitamos a hipótese nula e aceitamos a hipótese alternativa, ou seja, concluímos que existe uma tendência na série temporal (para um teste bilateral).

Por outro lado, se o valor da estatística de teste for menor que o valor crítico, não há evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula, o que indica que não há uma tendência significativa na série.

Cursos para aprofundar os conhecimentos:

• Estatística para Concurso (só para estatísticos e cientistas de dados)
• Teste de hipóteses essencial para concursos (para iniciantes)
• Inferência Essencial para Concursos (para iniciantes)
• Distribuição Normal Essencial para Concursos (para iniciantes)

Conclusão

O teste de Cox-Stuart é uma ferramenta poderosa e simples para verificar a presença de tendências em séries temporais. Ele é muito útil em contextos onde se deseja avaliar a evolução de uma variável ao longo do tempo sem fazer suposições rigorosas sobre a distribuição dos dados. Ao entender seus princípios, hipóteses e como calcular a estatística de teste, é possível aplicar esse método de maneira eficaz para apoiar a análise de tendências e auxiliar na tomada de decisões informadas.

Se você está lidando com dados temporais e deseja identificar tendências, o teste de Cox-Stuart pode ser uma excelente escolha, complementando outras análises estatísticas para uma visão mais completa do comportamento da variável ao longo do tempo.